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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Encontre y ' , se y = y ( x ) é definida implicitamente pela equação

x arctan ⁡ y = x 2 + y ²

Passo 1

Para achar y ' temos que derivar implicitamente a equação dada, em relação à variável x . Então vamos pôr a mão na massa.

( x . ( arctan ⁡ y ) ) ' = ( x 2 ) ' + ( y 2 ) '

Para o primeiro termo, vamos usar regra do produto.

x ' . arctan ⁡ y + arctan ⁡ y ' . x = 2 x . x ' + 2 y . y '

1 . arctan ⁡ y + 1 1 + y 2 . y ' . x = 2 x . 1 + 2 y . y '

arctan ⁡ y + x y ' 1 + y 2 = 2 x + 2 y . y '

Passo 2

Agora vamos passar tudo que possui y ' para o mesmo lado, para podermos isolá-lo.

x y ' 1 + y 2 - 2 y . y ' = 2 x - arctan ⁡ y

y ' x 1 + y 2 - 2 y = 2 x - arctan ⁡ y

y ' = 2 x - arctan ⁡ y x 1 + y 2 - 2 y

y ' = 2 x - arctan ⁡ y x - 2 y ( 1 + y 2 ) 1 + y 2

y ' = ( 1 + y 2 ) ( 2 x - arctan ⁡ y ) x - 2 y ( 1 + y 2 )

Resposta

y ' = ( 1 + y 2 ) ( 2 x - arctan ⁡ y ) x - 2 y ( 1 + y 2 )

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub