Se f(x) + x^2 + [f(x)]^3 = 10 e f(1) = 2 , encontre f'(1)

Passo 1

O enunciado forneceu uma equação que dá f ( x ) implicitamente como função de x . Além disso, também deu pra gente qual o valor de f em um ponto e pede depois a derivada nesse ponto.

Note que, de fato, substituindo x = 1 e f 1 = 2 a equação fornecida é satisfeita:

2 + 1 2 × 2 3 = 2 + 8 = 10

Para achar f ' ( 1 ) , devemos primeiro achar f ' ( x ) em função de f ( x ) e x derivando implicitamente e daí trocar depois x por 1.

Passo 2

Derivando a equação implicitamente, temos:

f ' x + 2 x f x 3 + x 2 3 f x 2 f ' x = 0 ]

Logo,

f ' x 1 + 3 x 2 f x 2 + 2 x f x 3 = 0

Passo 3

Substituindo x = 1 , temos que:

f ' 1 1 + 3 × 1 2 f 1 2 + 2 × 1 × f 1 3 = 0

Usando o que o enunciado nos deu, temos f 1 = 2

f ' 1 1 + 3 × 2 2 + 2 × 2 3 = 0

13 f ' 1 + 16 = 0

f ' 1 = - 16 13

Resposta

f ' 1 = - 16 13

Exercícios de Livros Relacionados