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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Derivadas de Ordem Superior

Prove:

Se y = cos ⁡ x - sen ⁡ x   então 4 x y ' ' + 2 y ' + y = 0 .

Passo 1

Vamos calcular y ' e y ' ' :

y ' = cos ⁡ x - sen ⁡ x '

y ' = x ' - sen ⁡ x - x ' cos ⁡ x

y ' = - 1 2 x - 1 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x

Agora o y ' ' :

y ' ' = - 1 2 x - 1 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x '

= - 1 2 x - 1 2 ' sen ⁡ x + cos ⁡ x + - 1 2 x - 1 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x '

= 1 4 x - 3 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x + - 1 2 x - 1 2 1 2 x - 1 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x

= 1 4 x 3 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x - 1 4 x cos ⁡ x - sen ⁡ x

Passo 2

Então, para comprovar a relação do enunciado:

4 x y ' ' + 2 y ' + y

= 4 x 1 4 x 3 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x - 1 4 x cos ⁡ x - sen ⁡ x - 2 1 2 x - 1 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x + cos ⁡ x - sen ⁡ x

= 1 x 1 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x - cos ⁡ x - sen ⁡ x - x - 1 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x + cos ⁡ x - sen ⁡ x

= 1 x 1 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x - 1 x 1 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x + cos ⁡ x - sen ⁡ x - cos ⁡ x - sen ⁡ x

= 0

De fato, comprovamos o que o enunciado disse.

Resposta

4 x y ' ' + 2 y ' + y = 0

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