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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

2. Encontre d y / d x por derivação implícita.

  1. x y = 1 + x 2 y

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função implícita (ou seja, y não esta isolado) para derivar. E a questão pede para que derivamos de forma implícita.

Lembrando que quando derivamos implicitamente, derivamos em função de x e em função de y . Porém, os termos obtidos a partir da derivação de y são acompanhados y ' .

Bora aplicar!

Passo 2

Temos a seguinte função,

x y = 1 + x 2 y

Derivando implicitamente ficamos com,

y 2 x y + x 2 x y y ' = 0 + 2 x y + x 2 y '

Lembrando que os termos que tem acompanhado o y ' foram derivados em função de y . Os demais em função de x .

Mas ainda não terminamos a nossa derivada, pois queremos encontrar y ' .

Passo 3

Isolando y ' , ficamos com

x 2 x y y ' - x 2 y ' = - y 2 x y + 2 x y

x 2 x y - x 2 y ' = - y 2 x y + 2 x y

y ' = - y 2 x y + 2 x y x 2 x y - x 2

Ajeitando ficamos com,

y ' = - y + 4 x y x y 2 x y x - 2 x 2 x y 2 x y

Simplificando 2 x y

y ' = - y + 4 x y x y x - 2 x 2 x y

Prontinho!

Resposta

y ' = - y + 4 x y x y x - 2 x 2 x y

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Exercício de Livro
Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub