5. Seja y = f x uma função diferenciável tal que, para todo x   ϵ   D f , o ponto x , f x é solução da equação x y 3 + 2 x y 2 + x = 4 . Sabendo que f 1 = 1 , calcule f ' 1 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a deriva no ponto x = 1 . E o enunciado nos forneceu a seguinte função,

x y 3 + 2 x y 2 + x = 4

Mas repara que temos uma função implícita (ou seja, y não esta isolado) para derivar. E quando derivamos implicitamente, derivamos em função de x e em função de y . Porém, os termos obtidos a partir da derivação de y são acompanhados y ' .

Bora lá!

Passo 2

Derivando a nossa função implicitamente, ficamos com

y 3 + 3 x y 2 y ' + 2 y 2 + 4 x y y ' + 1 = 0

Isolando y ' ,

y ' = - y 3 + 2 y 2 + 1 3 x y 2 + 4 x y

Mas o problema não nos pede apenas a derivada, ele quer saber quem é f ' 1 .

Passo 3

Para acharmos a nossa derivada neste ponto, precisamos saber que é x e y .

Se queremos f ' 1 , temos que nosso x é igual a 1 .

Para descobrir quem é y , vamos usar a seguinte informação,

f 1 = 1

Como o nosso ponto é dado por x , f x , temos que y = 1 .

Agora é so substituir esse ponto na derivada!

Passo 4

Calculando quem é f ' 1

f ' 1 = - 1 3 + 2 1 2 + 1 3 1 1 + 4 1 1

f ' 1 = - 4 7

Prontinho!

Resposta

f ' 1 = - 4 7

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