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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 24k

24. Use derivação implícita para calcular d y d x nos itens a seguir:

k) x 2 = x + 2 y x - 2 y

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema, nosso objetivo é obter a derivada implícita d y d x da equação x 2 = x + 2 y x - 2 y .

Parece difícil fazer isso? 🤔

Para calcular a derivada implícita de uma equação temos que passar todos os termos da equação para um lado e fazer f = 0 e aplicar a razão

d y d x = - f x f y

Ou seja, temos que derivar f parcialmente em relação a x e y e substituir na equação da derivada implícita.

Bora começar! 😉

Passo 2

Passando todos os termos da equação para um lado

x 2 = x + 2 y x - 2 y → x 2 - x + 2 y x - 2 y = 0

Fazendo f = 0

f = 0 = x 2 - x + 2 y x - 2 y

f = x 2 - x + 2 y x - 2 y

Calculando as derivadas parciais de f .

Primeiro com relação a x pela regra do quociente

f x = ∂ x 2 - x + 2 y x - 2 y ∂ x = 2 x - ∂ x + 2 y ∂ x · x - 2 y - x + 2 y · ∂ x - 2 y ∂ x x - 2 y 2

f x = 2 x - 1 · x - 2 y - x + 2 y · 1 x - 2 y 2

f x = 2 x + 4 y x - 2 y 2

Agora com relação a y também pela regra da cadeia

f y = ∂ x 2 - x + 2 y x - 2 y ∂ y = ∂ x + 2 y ∂ y · x - 2 y - x + 2 y · ∂ x - 2 y ∂ y x - 2 y 2

f y = 2 · x - 2 y - x + 2 y · - 2 x - 2 y 2

f y = - 4 x x - 2 y 2

E por fim, substituindo na derivada implícita, temos

d y d x = - f x f y = - 2 x + 4 y x - 2 y 2 - 4 x x - 2 y 2

d y d x = 2 x x - 2 y 2 + 4 y x - 2 y 2 4 x x - 2 y 2

d y d x = x x - 2 y 2 + 2 y 2 x

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

d y d x = x x - 2 y 2 + 2 y 2 x

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub