UFRJ – Cálculo 1 – Lista 7 – Questão 9
Seja E a elipse de equação . Existem 2 retas tangentes a E que passam pelo ponto (12,3). Encontre as equações dessas retas.
Passo 1
Opa, e aí galerinha!! Vamos partir do fato que, derivando implicitamente a equação, teremos como encontrar a inclinação da reta, certo?
Outra coisa que precisamos lembrar sempre é que uma equação da reta sempre será dada pela equação:
Passo 2
Substituindo os nossos pontos dados teremos que:
Mas olha que legal, o enunciado disse pra gente que , podemos dizer que . Substituindo isso,
Passo 3
Substituindo-se esse resultado para em nossa equação original do problema, obtem-se:
Substituindo essas duas raízes na equação temos como encontrar dois pontos, ou seja, quando e , teremos respectivamente os valores de iguais a 3 e . Assim, temos os pontos:
e
Passo 4
Agora, podemos obter finalmente o que foi solicitado.
Para a primeira reta que passa pela elipse tocando em (0, 3) teremos:
Fazendo de forma semelhante para a segunda reta teremos:
Substituindo na equação da reta tangente, temos: