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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

2. a) Calcule d y d x no ponto 2,3 sendo y = f x definida implicitamente pela equação

x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 = 26

b) Calcule a derivada da função y = ln ⁡ x ln ⁡ x

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? O problema pede para resolvermos essa derivada implícita aí! Mas lembrando que vamos derivar em função de x e y = y x . Fica assim

    2. 3 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 3 x 2 y ' + 6 x y y ' = 0

    Ajeitando,

    6 x y + 3 x 2 y ' = - 3 x 2 + 6 x y - 3 y 2

    6 x y + 3 x 2 y ' = - 3 x + y

    y ' = - 3 x + y 6 x y + 3 x 2

    y ' = - x + y 2 x y + x 2 = - x + y 2 x y + x = - 1 2 x

    Passo 2

  2. Agora vamos achar a derivada de

y = ln ⁡ x ln ⁡ x

Para isso vamos usar a derivação logarítmica e aplicar l n nos dois lados

ln ⁡ y = ln ⁡ ( ln ⁡ x ) ln ⁡ x  

Aplicando a propriedade de logartimo

ln ⁡ y = ln ⁡ x ( ln ⁡ ( ln ⁡ x ) )  

Agora vamos derivar implicitamente!

Passo 2

Derivandos dos dois lados ficamos com,

( ln ⁡ y ) ' = ( ln ⁡ x ( ln ⁡ ( ln ⁡ x ) ) ) '  

1 y y ' = 1 x ln ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ x 1 x 1 ln ⁡ x

Isolando y ' e ajeitando a equação,

y ' = y 1 x ln ⁡ ln ⁡ x + 1

Do enunciado temos que y = ln ⁡ x ln ⁡ x . Logo,

y ' = ln ⁡ x ln ⁡ x 1 x ln ⁡ ln ⁡ x + 1

Resposta

  1. y ' = - 1 2 x
  2. y ' = ln ⁡ x ln ⁡ x 1 x ln ⁡ ln ⁡ x + 1

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Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub