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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2018, VE1, Q4

Dado que:

u x = 1 + x 3 3 ! + x 6 6 ! + x 9 9 ! + … v x = x + x 4 4 ! + x 7 7 ! + x 10 10 ! + … w x = x 2 2 ! + x 5 5 ! + x 8 8 ! + …

Prove que u 3 + v 3 + w 3 - 3 u v w = 1

Passo 1

Comunica-te comigo! Para provar essas identidades tipo f x = c é interessante, primeiro provarmos que f ' x = 0 garantindo que é constante e depois determinar o valor da bonita. Assim, considere:

f x = u 3 + v 3 + w 3 - 3 u v w

Assim,

f ' x = 3 u 2 u ' + 3 v 2 v ' + 3 w 2 w ' - 3 u ' v w - 3 u v ' w - 3 u v w '

Porém repare que v = w ' , u = v ' e w = u ' , logo:

f ' x = 3 u 2 w + 3 v 2 u + 3 w 2 v - 3 v w 2 - 3 u 2 w - 3 u v 2

⇒ f ' x = 0

Logo, f é constante, porém, u , v , w 0 = ( 1,0 , 0 ) , tal que:

f 0 = 1 3 + 0 3 + 0 3 - 3 ⋅ 1 ⋅ 0 ⋅ 0 = 1

Como queríamos demonstrar:

u 3 + v 3 + w 3 - 3 u v w = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub