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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 4.1

Determine uma função   y ( x ) que satisfaça à relação

y 2   +   x y   =   1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez uma sobre derivada implícita

Nosso objetivo é encontrar y ( x ) que satisfaça à relação

y 2   +   x y   =   1 .

Passo 2

Note que y ( x ) é função de x . então sua derivada é dada por y ' ( x ) . Sendo assim, vamos derivar

y 2   +   x y   =   1 .

Usando a regra da cadeia, temos:

2 y ( x ) y ' ( x ) + d d x x y = 0

usando a regra do produto

2 y ( x ) y ' ( x ) + y ( x ) + x y ' ( x ) = 0

Logo,

- y ' ( x ) ( 2 y ( x ) + x ) = y ( x )

⇒ y ' ( x ) = - y ( x ) 2 y ( x ) + x

Então, y ( x ) é tal que

y ' ( x ) = - y ( x ) 2 y ( x ) + x

e y ( 0 ) = 1

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub