UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profª Sonia Berrios - Lista 2 - Limites, Continuidade e Derivadas, Questão 24b
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b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada, , da expressão implícita . E se essa é uma expressão implícita, nós vamos usar o quê? Isso mesmo, a derivação implícita.
Pra relembrar, na derivação implícita nós vamos derivar normalmente cada termo com , como se tivesse derivando termos com a variável , só que vamos acrescentar um espacinho em branco do lado. Nesse espacinho em branco nós vamos completar com o termo que representa a derivada de em relação a , que vai ser denotado por . Depois basta isolar o e encontramos nossa resposta.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar tomando a derivada em relação a em ambos os lados da equação:
Como a derivada de constante é zero, ficamos com o seguinte:
A derivada da soma é a soma das derivada, então podemos separar os termos:
Como a gente tem um produto entre as variáveis e nos dois termos, vamos precisar usar a regra do produto junto com a derivação implícita. Assim, vamos ter:
Nos termos que dependem apenas da variável , nós podemos derivar normalmente usando a regrinha da potência ():
E nos termos que dependem da variável , nós também derivamos usando a regra da potência, mas deixando o espacinho para preencher com a derivada de em relação a :
Agora colocando em evidência:
Isolando :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉