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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 40b

Calcule d y d x de

a r c s e n ( x y )   =   x   +   y

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é calcular d y d x de

a r c s e n ( x y )   =   x   +   y

Passo 2

Queremos calcular d y d x . Para isso, vamos usar a derivação implícita. Temos que

d d x y ( x ) = y ' ( x )

Então, derivando dos dois lados

a r c s e n ( x y )   =   x   +   y

d d x a r c s e n ( x y )   = d d x   x   +   y

Usando a regra da cadeia, a regra do produto e o fato que

( a r c s i n ( x ) ) ' = 1 1 - x 2

Então

d d x a r c s e n ( x y )   = d d x   x   +   y

1 1 - ( x y ) 2 ( x y ) '   = 1   + y '

Logo

1 1 - ( x y ) 2 ( y + x y ' )   = 1   + y '

Portanto,

y ' = y / 1 - ( x y ) 2   - 1 1 - x / 1 - ( x y ) 2  

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub