UTFPR - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Provas - Teste 9 - AV2 - 2022.1 - Questão 3 - Alternativa a)
Calcule:
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
O enunciado aqui não é muito detalhado, ele pede com que calculemos o seguinte
Note que esta é a derivada da função
Mas como calcular essa derivada? Vamos precisar utilizar algumas derivadas conhecidas juntamente com a regra da cadeia, além de algumas propriedades do logaritmo neperiano, vou apresentá-las uma de cada vez! Vem comigo!
Passo 2
Vamos primeiro calcular a derivada de
Para resolver isso, vamos ter que utilizar derivação implícita! Só que antes de sairmos derivando, vamos tentar resolver o problema de termos um no expoente. A seguinte propriedade do logaritmo é útil tendo em vista este problema
De forma que se eu aplicar o em ambos os lados da minha função, temos que
Ou seja, utilizando a propriedade do logaritmo, temos que
Para as outras derivadas agora precisaremos da regra do produto, da cadeia e lembrar a derivada do . Vem comigo!
Passo 3
Derivando então a função em ambos os lados em relação a , temos
e, usando a regra do produto
Temos que a nossa derivada pode ser expandida como
A esquerda da desigualdade teremos que utilizar a regra da cadeia
Temos em nosso caso que , portanto, temos que e . A regra da cadeia faz com que nossa derivada se torne então
Agora vamos trabalhar com as derivadas conhecidas! Saca só!
Passo 4
Lembrando a regra do tombo, que diz que
e, também que
Podemos escrever que nossa integral toma a seguinte forma
Como temos que , temos que isolar a derivada na equação acima, saca só
Multiplicando os dois lados por , temos que
Resumindo, temos que
Vamos guardar este resultado para usarmos em nossa derivada original! O segundo termo que precisamos derivar também vai utilizar algumas integrais conhecidas e a regra da cadeia! Vem comigo!
Passo 5
Os dois termos que precisamos derivar são
O primeiro já calculamos, o segundo requer que utilizemos a regra da cadeia com e . Temos que
Analogamente ao que usamos antes, temos que
E, utilizando que
Temos que nossa derivada se torna, usando que
Juntando nossos dois resultados, obtemos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!