UnB. Cálculo 1. Lista 7 - Regra da Cadeia, Derivação Implícita e Derivadas de Funções Inversas. Questão 4.
4) Suponha que é derivável e . Sabendo que e , calcule .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
A primeira coisa que pensamos quando vemos essa questão é “minha nossa! O que eu faço com essas informações??”
Vamos analisar o que a questão nos diz.
Temos uma função onde contém uma função oculta que é derivável e sabemos que e .
O objetivo da questão é obter a derivada de no ponto .
Isso não ajudou muito, não é? Mas olha só vou dar outra dica, podemos aplicar algum método que já conhecemos pra obter ?
Temos uma função composta, não é? Como derivamos uma função composta?
Exato!! A partir da regra da cadeia!!
A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é obtida derivando a função que está contida multiplicando pela derivada da função que contem a função contida substituindo a função contida por uma variável qualquer. Ou seja, se
Entender esse conceito já é 80% da questão concluída. Bora lá!
Passo 2
A função que temos, é
Se derivarmos pela regra da cadeia, temos
Perceba que escrevemos pois estava elevado ao quadrado. Como se derivássemos , .
Perceba também que .
Calculando a derivada de , temos pelo teorema fundamental do cálculo.
Agora vamos olhar para com mais atenção pois aqui está o segredo.
Passo 3
Sabemos que e queremos encontrar a derivada de no ponto , se substituímos em , vamos obter
Qual o cosseno de ? Exatamente!! ! Logo nosso será
Substituindo em , temos
Mas o que é ??
Foi dado no enunciado que é igual a ! Substituindo por , em , temos
Fazendo
Simplificando o resultado e calculando o seno de , temos
Agora parece mais fácil?
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
