UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profª Sonia Berrios - Lista 2 - Limites, Continuidade e Derivadas, Questão 25
Encontre uma equação da reta tangente e normal à curva no ponto .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva no ponto . Pra isso, nós precisamos lembrar que a equação de uma reta de coeficiente angular , passando por um ponto é dada por:
Além disso, a gente sabe que a derivada representa essa inclinação da reta, então podemos dizer que . Sendo assim, nós vamos precisar calcular a derivada implícita da expressão, aplica-la no ponto dado e substituir tudo na equação da reta tangente.
Já pra achar a equação da reta normal a curva, precisamos saber que o seu coeficiente angular é o inverso negativo do coeficiente angular da reta tangente, ou seja:
Isso acontece porque as duas retas são perpendiculares. Assim, encontrando a equação da reta tangente, basta inverter o coeficiente angular e teremos a equação da reta normal.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar tomando a derivada em relação a em ambos os lados da equação:
A derivada de uma constante é zero, então ficamos com seguinte:
A derivada da soma é a soma das derivadas, então podemos separar os termos:
Nos termos que dependem apenas da variável , nós podemos derivar normalmente, usando a regra da potência ():
Nos termos que contém um produto, a gente deriva usando também a regra do produto:
E nos termos que dependem da variável , nós também derivamos normalmente, mas multiplicamos pela derivada de em relação a , que é o :
Então, isolando :
Assim, no ponto , temos:
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é . Consequentemente, o coeficiente angular da reta normal será:
Passo 3
Substituindo na equação da reta com , temos:
Essa é a equação da reta tangente à curva. De modo semelhante, vamos ter a reta normal dada por:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉