8. Se xy + e^y = e , encontre o valor de y'' no ponto onde x = 0 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? A questão pede achar acharmos y ' ' no ponto x = 0 . Porém nos dá a seguinte função para derivar,

x y + e y = e

Repara que não temos como isolar o y , para fazer essa derivada! Sendo assim, vamos ter que derivar implicitamente.

Bora lá!

Passo 2

Derivando implicitamente a nossa f em função de x e y , ficamos com

y + x y ' + e y y ' = 0

Agora vamos isolar o nosso y ' ,

y ' = - y x + e y

Derivando, ficamos com

y ' ' = - y ' x + e y - y x + e y ' x + e y 2

y ' ' = - y ' x + e y - y + y e y y ' x + e y 2

y ' ' = - x y ' + e y y ' - y - y e y y ' x + e y 2

Agora vamos calcular a derivada no ponto!

Passo 3

A gente quer achar essa derivada no ponto x = 0 , mas antes de sair substituindo, temos que achar quem é y nesse ponto.

Lembra que tínhamos,

x y + e y = e

Se queremos x = 0 , temos

0 y + e y = e

e y = e

y = 1

Mas ainda antes de substituir, repara que a nossa y ' ' , também está em função de y ' . Então vamos achar esse valor para x = 0 e y = 1

y ' = - y x + e y

y ' = - 1 0 + e 1 = - 1 e

Agora vamos substituir tudo na nossa expressão de y ' ' .

Passo 4

Temos que

y ' ' = - x y ' + e y y ' - y - y e y y ' x + e y 2

Substituindo,

y ' ' = - 0 - 1 e + e - 1 e - 1 - 1 e - 1 e 0 + e 2

y ' ' = - - 1 - 1 + 1 e 2 = 1 e 2

Resposta

1 e 2

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