Expresse dy / dx em termos de x e y , onde y = f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:

b) 5y + cos(y) = xy

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função y = f ( x ) implícita e nos pede para derivarmos ela implicitamente.

Para isso, devemos derivar implicitamente a equação, ou seja, aplicarmos a derivada d y d x nos dois lados da igualdade de forma que devemos isolar o d y d x .

Vale lembrar que na derivação implícita ocorre a regra da cadeia, em que usamos sempre que existem funções compostas (uma função dentro da outra). Ela é dada dessa forma:

f g ( x ) ) ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Não entendeu? Então bora junto descobrir!! 😉

Passo 2

Seguinte... vamos primeiramente derivar os dois lados da igualdade:

d 5 y + cos ⁡ y d x = d x y d x ∴

d 5 y d x + d cos ⁡ y d x = d x y d x ∴

Em ambos os lados aplicamos a regra da cadeia, em que d y d x = d y d u ∙ d u d x . Assim, temos:

5 d y d x - d y d x sen ⁡ y = y + x d y d x ∴

5 d y d x - sen ⁡ y d y d x - x d y d x = y ∴

d y d x 5 - sen ⁡ y - x = y ∴

d y d x = y 5 - sen ⁡ y - x  

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d y d x = y 5 - sen ⁡ y - x  

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