UFRJ. Cálculo 2. 2C. 2022.1. Questão 3.
Considere o Folium de Descartes
(a) Ache um vetor tangente e um vetor normal ao Folium de Descartes em .
(b) Ache equações paramétricas da reta normal ao Folium de Descartes em .
(c) Esta reta normal passa pela origem? Justifique.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
No enunciado da questão, foi dado um vetor que foi chamado de Folium de Descartes , onde
No item a) foi solicitado de descrevêssemos o vetor tangente e um vetor normal a em .
Lembra como calculamos um vetor tangente e um vetor normal? 🤔
Um vetor tangente a uma curva descrita por um vetor é dado pela derivada desse vetor, ou seja, . Assim substituímos por e encontramos o vetor.
Já o vetor normal é obtido quando o produto interno dele com o vetor tangente é igual a , ou seja, . Ou simplesmente, lembrando de geometria analítica, como temos um vetor tangente, podemos fazer .
Já no item b) temos que encontrar as equações paramétricas do vetor normal a no instante .
Lembrando que a equação paramétrica de um vetor é dada por um ponto conhecido do vetor + um vetor normal ao vetor multiplicado por uma variável paramétrica.
E por fim, no item c), temos se a reta normal a passa pela origem em algum momento.
Parece um pouco grandinha, não é?
Mas relaxa, vamos nos dar bem! 😎
Passo 2
Vamos começar com o item a).
Temos que calcular o vetor tangente de e como dito no passo anterior, o vetor tangente de é dado por .
Então bora calcular a derivada de !
Ambas as derivadas podem ser calculadas pela regra do quociente, lembra dela?
Quando temos uma função fracionada, podemos aplicar a regra do quociente, ou seja
Por derivação polinomial, temos
Logo, o vetor tangente é dado por
Substituindo por
Também queremos um vetor perpendicular () a esse vetor tangente. Pelo produto interno entre eles, temos
Lembrando de geometria analítica, um vetor perpendicular a outro é obtido pela relação , se , então
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
No item b) queremos obter as equações paramétricas de . como vimos no passo 1, a equação paramétrica de um vetor é dada por
Já temos o vetor normal no ponto , agora precisamos obter um ponto conhecido em .
Se obtermos vamos conseguir os pontos que precisamos
Com isso, tiramos que é
Ou também
Por fim, no item c), queremos saber se existe um vetor normal a que passa pela origem.
Pra isso, vamos analisar o vetor paramétrico normal, ou seja
Como as duas equações são iguais, podemos analisar apenas uma
Com isso, provamos que quando o vetor normal de passa pela origem do sistema!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
a) ,
b)
c) Sim, quando .