Se f(x) = x + x^3 então existe g = f^(-1) ? Se sim, calcule g'(x) e g'(0).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez uma sobre derivada implícita

Nosso objetivo é verificar se existe   g   =   f - 1 de f ( x )   =   x   +   x 3 . E calcular g ′ ( x )   e   g ′ ( 0 ) .

Passo 2

Vamos começar verificando se existe a inversa de   g   =   f - 1 de f ( x )   =   x   +   x 3

Bem, note que a função f ( x )   =   x   +   x 3 é injetiva e sobrejetiva (polinômio de grau 3). Logo ela é inversível.

Passo 3

Vamos calcular g ′ ( x )   e   g ′ ( 0 ) . Pela definição de g temos que se

f ( x )   =   x   +   x 3

então aplicando

g ( f ( x ) ) = g ( x + x 3 )

⇒ x = g ( x + x 3 )

derivando dos dois lados, temos:

1 = d d x g ( x + x 3 )

Usando a regra da cadeia

1 = g ' ( x + x 3 )   (   1 + 3 x 2 )

⇒ g ' ( x + x 3 ) = 1 1 + 3 x 2

Logo, g ( 0 ) = 1

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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