UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – AVA2 – Questão 2a
Encontre para cada uma das curvas abaixo:
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão fala de derivada de uma curva! Precisamos encontrar a derivada dessa função aqui
Puxa, vida e agora? Como derivar isso?
Quando você tiver que derivar uma curva você estará derivando implicitamente
Isso significa que você irá aplicar a derivada dos dois lados da curva e considerar como uma função de ! Mas o que isso significa em termos práticos?
Significa que você precisará aplicar as regras de derivação (produto, quociente, fórmulas já conhecidas) nos termos que tem ! E nele ainda aplicar a regra da cadeia, por exemplo
Pois estamos derivando e dentro dele ainda temos uma função que depende de ! Por isso a regra da cadeia!
Nesses casos de derivação implícita a gente sempre considera as variáveis como função de , e multiplica pela no final!
Mas fica calmo, é mais tranquilo do que parece! E é lógico que vou fazer passo a passo com você! Bora começar?
Passo 2
Nossa curva é a seguinte
Vamos aplicar a derivada em relação a dos dois lados
Beleza? Como a derivada da soma é a soma das derivadas, podemos derivar separadamente cada termo, saca só
tudo bem até aqui? Nossa missão agora é encontrar todas essas derivadas!
Passo 3
Vamos começar com as derivadas do lado direito:
Do primeiro termo temos a derivada da exponencial
Do segundo a derivada de uma constante
E do terceiro a derivada do seno (mas ele está em ! Atenção aqui!)
Tudo bem? Tranquilo? Agora nossa missão é encontrar a derivada do lado esquerdo da nossa curva!
Passo 4
Do lado esquerdo temos:
Começando pela primeira derivada: temos um produto de duas funções que dependem de ! Então aqui vamos usar regra do produto!
E por fim a segunda derivada
Show! Agora vamos juntar tudo! Vem comigo!
Passo 5
Nossa curva era:
Derivamos do lado esquerdo:
E do lado direito:
Podemos colocar em evidência do lado esquerdo
E isolar
Lembrando que , acabamos de encontrar uma expressão para a derivada de dessa curva!
E é isso pessoal! Nossa resposta fica assim mesmo! Vamos treinar mais?