3. Suponha que é uma função que satisfaz a equação
Encontre uma reta tangente à curva acima num ponto , com , e que seja paralela à reta .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? O problema pede para acharmos a reta tangente a uma curva e, para descobrirmos isso, temos que lembrar que essa reta tangente precisa satisfazer a seguinte equação:
Onde e são as coordenadas onde essa reta tagente passa.
Agora, repara também que para acharmos a reta tagente, precisamos da derivada de no ponto , ou seja, precisamos achar .
Então agora vamos achar .
Passo 2
Para acharmos precisaremos derivar implicitamente a função que o enunciado nos deu:
Agora vamos derivar em função de , mas lembrando que
Ajeitando a equação ficamos com
Substituindo o ponto , ficamos com
A gente derivou pra achar . Mas a expressão que achamos inclui Atenção, como substituímos o ponto , então o que aparece também é nesse mesmo ponto.
Então agora precisamos encontrar quem é
Passo 3
Para encontrar quem é temos que nos atentar a uma informação muito importante do enunciado: ele nos diz que a reta tangente é pararela a reta .
Ou seja, se as retas são paralelas, elas possuem o mesmo coeficiente angular. No caso da reta , o coeficiente angular é . Então o coeficiente da nossa reta tangene também é -1. E como isso nos ajuda a achar ?
Se lembrarmos que a equação de uma reta qualquer é
Temos que:
Ou seja, ) é justamente o coeficiente angular da reta tangente! Então temos que:
Substituindo isso na equação que achamos no passo 2, ficamos com:
Logo, temos que
Agora precisamos achar que valor tem e .
Para isso, vamos substituir essa informação da equação original!
Passo 4
O problema nos forneceu,
E já sabemos que
Substituindo na equação, ficamos com
Como o problema também nos disse que , temos . Assim que, . Substituindo esses valores na equação da reta tangente ficamos com
Prontinho! Vamos para próxima!