Seja p(x) = x + ln(x) , com x > 0 . Se q(x) é a inversa de p(x) , mostre que

q'(x) = q(x) / (1 + q(x))

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez uma sobre derivada implícita

Nosso objetivo é mostrar que q ' ( x ) = q ( x ) 1 + q ( x ) com

p ( x )   =   x   +   l n ( x ) , com   x   >   0 e q ( x ) = p - 1 ( x )

Passo 2

Bem se

p ( x )   =   x   +   l n ( x ) , com   x   >   0 e q ( x ) = p - 1 ( x )

Então, temos:

p ( q ( x ) )   =   x

derivando

d d x   p ' ( q ( x ) ) q ' ( x ) = 1

usando a regra da cadeia

⇒ q ' ( x ) = 1 p ' ( q ( x ) )

como p ' ( x ) = 1 + 1 / x

= 1 1 + 1 / q ( x )

= q ( x ) 1 + q ( x )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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