Expresse dy / dx em termos de x e y , onde y = f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:

c) y + ln(x^2 + y^2) = 4

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função y = f ( x ) implícita e nos pede para derivarmos ela implicitamente.

Para isso, devemos derivar implicitamente a equação, ou seja, aplicarmos a derivada d y d x nos dois lados da igualdade de forma que devemos isolar o d y d x .

Vale lembrar que na derivação implícita ocorre a regra da cadeia, em que usamos sempre que existem funções compostas (uma função dentro da outra). Ela é dada dessa forma:

f g ( x ) ) ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Não entendeu? Então bora junto descobrir!! 😉

Passo 2

Seguinte... vamos primeiramente derivar os dois lados da igualdade:

d y + ln ⁡ x 2 + y 2 d x = d 4 d x ∴

d y d x + d ln ⁡ x 2 + y 2 d x = d 4 d x

No lado esquerdo aplicamos a regra da cadeia, em que d y d x = d y d u ∙ d u d x e, do lado direito, vemos que a derivada de uma constante é zero. Assim, temos:

d y d x + 1 x 2 + y 2 2 x + 2 y d y d x = 0 ∴

d y d x + 2 x x 2 + y 2 + 2 y x 2 + y 2 d y d x = 0 ∴

d y d x = - 2 x 2 y + x 2 + y 2  

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d y d x = - 2 x 2 y + x 2 + y 2  

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