15. Se (x^10 + 9x) y + e^(8y) = e^7 , então o valor de y' no ponto onde x = 0 é

A: - 63 / 8

B : - 126 / 64 * e^(-7)

C: - (63 / 64) * e^(-7)

D : - 63 / 64

E: - 63 / 8 * e^(-7)

Passo 1

Vamos juntos detonar com essa questão!

Para encontrar y ' podemos derivar implicitamente em função de x os dois lados da equação que o enunciado nos deu, lembrando que y é uma função de x .

Vamos as contas!

Passo 2

Temos o seguinte:

x 10 + 9 x y + e 8 y = e 7

Derivando os dois lados, temos:

x 10 + 9 x ' y + x 10 + 9 x y ' + ( e 8 y ) ' = ( e 7 ) '

= 10 x 9 + 9 y + x 10 + 9 x y ' + e 8 y 8 y ' = 0

Usando a primeira equação, temos:

10 x 9 + 9 y + x 10 + 9 x y ' + ( e 7 - x 10 + 9 x y ) 8 y ' = 0

10 x 9 + 9 y + x 10 + 9 x + 8 e 7 - 8 x 10 y - 72 x y y ' = 0

Passo 3

Encontramos uma coisa bem feia, mas vamos usar o fato de que o enunciado quer o valor de y ' para x = 0 , então vamos fazer essa substituição na nossa expressão, temos:

10 ( 0 ) 9 + 9 y + ( 0 ) 10 + 9 ( 0 ) + 8 e 7 - 8 0 10 y - 72 ( 0 ) y y ' = 0

⇒ 9 y + 8 e 7 y ' = 0

⇒ y ' = - 9 y 8 e 7

Mas agora, quem é y ? Temos que ver qual o valor de para x = 0 . Para isso vamos usar a equação que o enunciado deu e substituir x = 0 .

Passo 4

Temos o seguinte:

x 10 + 9 x y + e 8 y = e 7

Fazendo x = 0 , temos:

( 0 ) 10 + 9 ( 0 ) y + e 8 y = e 7

⇒ e 8 y = e 7

⇒ 8 y = 7

Logo temos que:

y = 7 8

Passo 5

Agora vamos substituir o valor que encontramos para y na expressão que chegamos no passo 3 , temos:

y ' = - 9 7 8 8 e 7

⇒ y ' = - 63 64 e - 7

Então a nossa alternativa correta é a letra C .

Resposta

C : - 63 64 e - 7

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