UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profª Sonia Berrios - Lista 2 - Limites, Continuidade e Derivadas, Questão 26
Encontre se .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada, , da expressão implícita no ponto . Pra isso, vamos precisar usar a derivação implícita.
Pra relembrar, na derivação implícita nós vamos derivar normalmente cada termo com , como se tivesse derivando termos com a variável , só que vamos acrescentar um espacinho em branco do lado. Nesse espacinho em branco nós vamos completar com o termo que representa a derivada de em relação a , que vai ser denotado por . Depois basta isolar o , substituir o ponto dado e encontramos nossa resposta.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar tomando a derivada em relação a em ambos os lados da equação:
Como a derivada de constante é zero, ficamos com o seguinte:
A derivada da soma é a soma das derivada, então podemos separar os termos:
O primeiro termo depende só da variável , então nós podemos derivar normalmente usando a regrinha da potência ():
E agora como derivamos a parte que depende da variável ?
Passo 3
Considerando como uma função de , ou seja, , nós basicamente vamos usar a regra da cadeia na derivação. Derivando a função de fora, que seria derivar normalmente, e depois multiplicar pela derivada da função de dentro de . Olha só:
E no espacinho em branco, a gente acrescenta a derivada da função de dentro, que é o próprio . Então fica:
Agora basta isolar :
Por fim, substituindo e , temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉