1/4 Seja y = f(x) uma função que satisfaz a equação 5^y = (x - 4)^6 , qualquer que seja x ≠ 4 . Então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (5, 0) é

A: y = 6 / (ln(5) * (x - 5))

B : y = 1 / (6 * ln(5) * (x - 5))

C: y = ln(5) / 6 * (x - 5)

D: y = 6 * ln(5) * (x - 5)

E: y = 1 / ln(5) * (x - 5)

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para encontrar a equação da reta tangente no ponto ( 5 ,   0 ) precisamos montar essa equação aos poucos, de forma geral a equação de uma reta é dada por:

y = a x + b

O parâmetro a é coeficiente angular e ele é igual a derivada da função f ( x ) no ponto onde a reta tangencia o gráfico de f ( x ) , então temos que ir atrás de f ' 5 e para isso temos que encontrar y ' .

Para encontrar esse cara podemos derivar implicitamente em função de x os dois lados da equação que o enunciado nos deu, a gente vai precisar usar o seguinte:

d d x a y = a y ln ⁡ a d y d x

Já que y é uma função de x .

E agora para achar o parâmetro b ? Podemos usar o ponto que o enunciado nos deu já que ele pertence a reta, como teremos o valor de y ,   x e a basta isolarmos o b que a gente encontra ele.

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar derivando a equação que o enunciado deu para a gente. Temos o seguinte:

5 y = x - 4 6

Derivando dos dois lados, temos:

5 y ln ⁡ 5 d y d x = 6 x - 4 5

Usando a primeira equação, temos:

x - 4 6 ln ⁡ 5 d y d x = 6 x - 4 5

d y d x = 6 ln ⁡ 5 x - 4 - 1

Usando x = 5 , temos:

f ' 5 = d y ( 5 ) d x = 6 ln ⁡ 5 5 - 4 - 1

⇒ f ' 5 = d y ( 5 ) d x = 6 ln ⁡ 5

Passo 3

Agora vamos atrás de b , vamos usar o ponto que pertence a reta ( 5 ,   0 ) , nossa equação tá da seguinte forma:

y = 6 ln ⁡ 5 x + b

⇒ 0 = 6 ln ⁡ 5 ( 5 ) + b

⇒ b = - 6 ln ⁡ 5 ( 5 )

Juntando tudo o que temos, ficamos com:

y = 6 ln ⁡ 5 x + - 6 ln ⁡ 5 ( 5 )

⇒ y = 6 ln ⁡ 5 x + - 6 ln ⁡ 5 ( 5 )

Então temos que:

y = 6 ln ⁡ 5 x - 5

Então a alternativa correta é a letra A !

Resposta

A : y = 6 ln ⁡ 5 x - 5

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