10. A Regra da Potência pode ser demonstrada usado a derivação implícita para o caso onde n é uma número racional, n = p / q , e y = f x = x n é supotar antemão ser uma função derivável. Se y = x p / q , então y q = x p . Use a derivação implícita para mostrar que

y ' = p q x p q - 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Resumindo o que o enunciado pede: aqui nós temos que derivar implicitamente

y q = x p

Para encontrar aquele resultado de derivada mostrado. E para isso, vamos usar a regra da potência, lembrando que p e q são número racionais.

Bora lá!

Passo 2

Derivando a função, com relação a x, ficamos com,

y q ' = x p '

q   y q - 1 y ' = p   x p - 1

Isolando, y '

y ' = p q x p - 1 y q - 1

Mas lembra do enunciado que

y = x p / q

Substituindo, ficamos com,

y ' = p q x p - 1 x p q q - 1

Agora que já temos tudo em função de x , vamos ajeitar essa função. Primeiro vamos aplicar essa propriedade de potencia

a b c = a b c

Fica assim,

y ' = p q x p - 1 x p - p / q

Agora vamos aplicar,

a b a c = a b - c

Fica assim,

y ' = p q ( x p - 1 - p - p q

y ' = p q x p q - 1

Resposta

No texto

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