Suponha que y = f(x) seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação

x * y^2 + y + x = 1

Mostre que f'(x) = (-1 - [f(x)]^2) / (2xf(x) + 1) em todo x no domínio de f com 2 * x * f(x) + 1 ≠ 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f ( x ) implícita e nos pede para derivarmos ela onde o resultado tem que dar f ' x = - 1 - f x 2 2 x f x + 1 .

Para isso, devemos derivar implicitamente a equação, ou seja, aplicarmos a derivada d y d x nos dois lados da igualdade de forma que devemos isolar o d y d x .

Vale lembrar que na derivação implícita ocorre a regra da cadeia, em que usamos sempre que existem funções compostas (uma função dentro da outra). Ela é dada dessa forma:

f g ( x ) ) ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Não entendeu? Então bora junto descobrir!! 😉

Passo 2

Seguinte... vamos primeiramente derivar os dois lados da igualdade:

d x y 2 + y + x d x = d 1 d x ∴

Do lado esquerdo, em x y 2 e y aplicamos a regra da cadeia, em que d y d x = d y d u ∙ d u d x e seguimos derivando os outros termos normalmente. Assim, temos:

y 2 + 2 x y d y d x + d y d x + 1 = 0 ∴

2 x y + 1 d y d x + y 2 + 1 = 0 ∴  

d y d x = - 1 - y 2 2 x y + 1

Passo 3

Dessa forma, lembrando que y = f ( x ) e d y d x = f ' ( x ) , temos:

f ' x = - 1 - f x 2 2 x f x + 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x = - 1 - f x 2 2 x f x + 1

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