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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 24h

24. Use derivação implícita para calcular d y d x nos itens a seguir:

h) 2 x + 3 4 = 3 y 4

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, nosso objetivo é obter a derivada implícita d y d x da equação 2 x + 3 4 = 3 y 4 .

Parece difícil fazer isso? 🤔

Para calcular a derivada implícita de uma equação temos que passar todos os termos da equação para um lado e fazer f = 0 e aplicar a razão

d y d x = - f x f y

Ou seja, temos que derivar f parcialmente em relação a x e y e substituir na equação da derivada implícita.

Bora começar! 😉

Passo 2

Passando todos os termos da equação para um lado

2 x + 3 4 = 3 y 4 → 2 x + 3 4 - 3 y 4 = 0

Fazendo f = 0

f = 0 = 2 x + 3 4 - 3 y 4

f = 2 x + 3 4 - 3 y 4

Calculando as derivadas parciais de f .

Primeiro com relação a x pela regra da cadeia

f x = ∂ 2 x + 3 4 - 3 y 4 ∂ x = ∂ 2 x + 3 4 ∂ x - ∂ 3 y 4 ∂ x

f x = ∂ 2 x + 3 ∂ x ∂ u 4 ∂ u - ∂ 3 y 4 ∂ x

f x = ∂ 2 x + 3 4 - 3 y 4 ∂ x = 2 4 u 3 = 8 u 3

Voltando u para 2 x + 3

f x = 8 2 x + 3 3

Agora com relação a y

f y = ∂ 2 x + 3 4 - 3 y 4 ∂ y = - 12 y 3

E por fim, substituindo na derivada implícita, temos

d y d x = - f x f y = - 8 2 x + 3 3 - 12 y 3

d y d x = 3 2 x + 3 3 3 y 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d y d x = 3 2 x + 3 3 3 y 3

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