Expresse dy / dx em termos de x e y , onde y = f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:

a) x * e^y + x * y = 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função y = f ( x ) implícita e nos pede para derivarmos ela implicitamente.

Para isso, devemos derivar implicitamente a equação, ou seja, aplicarmos a derivada d y d x nos dois lados da igualdade de forma que devemos isolar o d y d x .

Vale lembrar que na derivação implícita ocorre a regra da cadeia, em que usamos sempre que existem funções compostas (uma função dentro da outra). Ela é dada dessa forma:

f g ( x ) ) ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Não entendeu? Então bora junto descobrir!! 😉

Passo 2

Seguinte... vamos primeiramente derivar os dois lados da igualdade:

d x e y + x y d x = d 3 d x ∴

d x e y d x + d x y d x = d 3 d x ∴

Do lado esquerdo aplicamos a regra da cadeia, em que d y d x = d y d u ∙ d u d x e, do lado direito, vemos que a derivada de uma constante é zero. Assim, temos:

e y + x e y d y d x + y + d y d x = 0 ∴

x e y + x d y d x + e y + y = 0 ∴

d y d x = - ( e y + y ) x e y + x  

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d y d x = - ( e y + y ) x e y + x  

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