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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UFES, Cálculo I, P2, 2020.2, questão 2b

Considere y = f ( x ) na equação y . s e n ( x )   +   3 y +   x . l n ( y )   -   3   =   0 e determine:

(a) f ( 0 )

(b) a derivada y ' = f   ' ( x )

(c) a equação da reta tangente ao gráfico de   f no ponto ( 0 ,   f ( 0 ) )

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certinhooo?

Bom, devemos primeiramente lembrar o que é uma função implícita. Esse tipo de função nada mais é que uma função de várias variáveis, em que a saída da função depende de duas ou mais entradas. O objetivo dessa questão é obter a derivada em relação a variável y .

Para resolver essa questão precisamos entender como derivar implicitamente uma função. Para isso, basta fazer

d d x y . s e n x +   3 y +   x . l n y -   3 = d d x ( 0 )

Assim, vamos derivar a função em relação a   x .

d d x y . s e n x + d d x 3 y + d d x x . l n y - d d x ( 3 ) = d d x ( 0 )

Vamos calcular cada derivada separadamente para melhor entendimento nos próximos passos

Passo 2

Pela regra do produto:

d d x y . s e n x = 1 ∙ y ∙ y ' ∙ s e n x + y y c o s x = y ∙ y ' ∙ s e n x + y 2 c o s ( x )

Passo 3

Na próxima expressão não temos x multiplicando y , logo é uma derivada de constante:

d d x 3 y = 3 y y

Passo 4

A terceira expressão também necessita da regra do produto.

d d x x . l n y = 1 ∙ ln ⁡ y + x ∙ 1 y ∙ y ∙ y ' ∙ 0 = y ∙ ln ⁡ y + x y ∙ y ∙ y '

Passo 5

Por fim,

d d x 3 = 0

d d x 0 = 0

Passo 6

O último passo é isolar a derivada y ’ .

∙ y ' ∙ s e n x + y 2 c o s x + y ∙ ln ⁡ y + 3 y y + x y ∙ y ∙ y ' - d d x ( 3 ) = 0

y ' y s e n x + y ∙ x y + y 2 c o s x + y ∙ ln ⁡ y + 3 y y = 0

y ' = - y 2 c o s x - y ∙ ln ⁡ y y s e n x + x + 3 y y

Até mais!

Resposta

y ' = - y 2 c o s x - y ∙ ln ⁡ y y s e n x + x + 3 y y

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub