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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 5.16

16] De acordo com a lei de gases ideais para um gás confinado, Se P for a pressão, V unidades cúbicas o volume e T graus a temperatura, temos

P V = k T

onde k é uma constante de proporcionalidade. Mostre que

∂ T V · ∂ P T · ∂ V P = - 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada a equação P V = k T que é chamada de lei dos gases onde P , V e T são variáveis e k é uma constante.

Com isso queremos provar que ∂ T V · ∂ P T · ∂ V P = - 1

Parece de boa? 😉

Traduzindo essa equação, temos que obter a derivada parcial de V em relação a T , a derivada de T com relação a P , a derivada de P com relação a V e calcular o produto entre elas.

Para obter ∂ T V , podemos isolar V em um lado da equação e chamá-la de uma função V T , P assim, derivar parcialmente com relação a T .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Isolando V em um lado da igualdade, temos

P V = k T → V = k T P

Assim, derivando V com relação a T

∂ T V = ∂ k T P ∂ T = k P

Agora vamos fazer o mesmo com T

P V = k T → T = P V k

Derivando com relação a P

∂ P T = ∂ P V k ∂ P = V k

E por fim, isolando P em um lado da igualdade

P V = k T → P = k T V

Derivando com relação a V

∂ V P = ∂ k T V ∂ V = - k T V 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Substituindo essas derivadas parciais na equação do problema, temos

∂ T V · ∂ P T · ∂ V P = - 1

k P · V k · - k T V 2 = - 1

Simplificando o que dá, temos

1 P · - k T V = - 1

- k T P V = - 1

k T P V = 1

Passando P V multiplicando...

P V = k T

Ou seja, a equação é válida!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

P V = k T

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