UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.1.2.
Um arco não regular. Seja o arco dado por: , e . Note que a coordenada do arco é:
Com derivada , para e .
Sendo esta derivada descontínua em , concluímos que o caminho não é regular.
Passo 1
Oiee bora resolver mais essa comigo??
A questão trata de um caminho não regular, que é uma trajetória de uma partícula em movimento, onde a derivada da posição da partícula não é contínua em um ponto.
Vamos analisar o caminho especificado:
**Caminho γ(t):**
O caminho é dado por:
Aqui, temos um vetor posição que descreve a posição da partícula no plano em função do tempo
O vetor é uma unidade de vetor na direção x e é uma unidade de vetor na direção y.
Vamos focar na coordenada y deste caminho, que é dada por:
Aqui, é a coordenada y da partícula em função do tempo
Passo 2
**Derivada de :**
A derivada de em relação a é dada por:
Esta é a taxa de variação da coordenada com relação ao tempo. Vamos calcular esta derivada:
Usando a regra do produto:
A derivada da primeira parte envolve a função seno e requer cálculo de limite à medida que se aproxima de zero.
A derivada da segunda parte é mais simples:
Agora, o termo é o que nos causa problemas. Vamos calcular isso separadamente:
Passo 3
Para calcular essa derivada, precisamos entender o comportamento da função seno quando seu argumento se aproxima de zero.
Quando se aproxima de zero, o argumento se aproxima do infinito. O seno de um ângulo que se aproxima do infinito oscila rapidamente entre -1 e 1, e seu limite não existe.
Isso significa que não tem um valor bem definido quando .
Portanto, a derivada é descontínua em o que implica que o caminho não é regular.
Passo 4
**Definição de Caminho Regular:**
Um caminho é considerado regular em um intervalo se sua derivada é contínua e não nula em todo ponto .
Isso significa que a velocidade da partícula (a derivada da posição em relação ao tempo) não pode ser zero e não pode ter descontinuidades em
No caso do caminho que estamos analisando, a derivada é descontínua em e, portanto, o caminho não é regular neste intervalo.
Resposta
Vide a explicação.