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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 3.5e

Calcule as derivadas d d x , d d y , d d z e d d t das funções a seguir:

e) T x , y , z , t = e x cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( z ) t

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos as derivadas parciais de T x , y , z , t = e x cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( z ) t .

Para isso, podemos diferenciar em relação a cada variável mantendo a outra variável constante.

Lembrando que em todas as derivadas que iremos descobrir, iremos utilizar a regra do produto. Seja ( u v w ) uma função qualquer. Então sua derivada u v w ' é dada por:

u v w ' = u ' v w + u v ' w + u v w '

Vale mencionar que, analisando a equação T x , y , z , t = e x cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( z ) t , vemo que ela não depende de y . Dessa forma, temos que:

d d y = 0

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Bom... primeiro para d d x , temos:

d d x e x cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( z ) t

Podemos tratar o produto sin ⁡ ( z ) t como uma constante α e, a partir disso, aplicar a regra do produto para descobrirmos a derivada:

d d x e x * cos ⁡ x * α ∴

= e x ' cos ⁡ x α + e x cos ⁡ x ' α + e x cos ⁡ x α ' ∴

= e x cos ⁡ x α - e x sin ⁡ x α + 0 ∴

Substituindo α e simplificando, temos:

= e x sin ⁡ z t cos ⁡ x - sin ⁡ x

Passo 3

Agora, para d d z , temos:

d d z e x cos ⁡ x sin ⁡ z t

Reorganizando, temos:

d d z sin ⁡ z e x cos ⁡ x t

Podemos tratar o produto e x cos ⁡ x t como uma constante β e, a partir disso, aplicar a regra do produto para descobrirmos a derivada:

d d z sin ⁡ z e x ∴

= ( sin ⁡ z ) ' e x + sin ⁡ z e x ' ∴

= cos ⁡ z e x + sin ⁡ z * 0 ∴

= cos ⁡ z e x + sin ⁡ z

Passo 4

Agora, para d d t , temos:

d d t e x cos ⁡ x sin ⁡ z t

Podemos tratar o produto e x cos ⁡ x sin ⁡ z como uma constante γ e, a partir disso, aplicar a regra da potência para descobrirmos a derivada:

d d t γ * t = γ ∴

Substituindo γ , temos:

d d t γ * t = e x cos ⁡ x sin ⁡ z

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d d x e x cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( z ) t = e x sin ⁡ z t cos ⁡ x - sin ⁡ x

d d z e x cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( z ) t = cos ⁡ z e x + sin ⁡ z

d d t e x cos ⁡ x sin ⁡ z t = e x cos ⁡ x sin ⁡ z

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