Calcule as derivadas parciais f_x e f_y da função f(x, y) = ln(y + raiz(x^2 + y^2)) no ponto (3,4)

Passo 1

Oi, tudo bem? Esse problema nos deu essa função aqui

f x , y = ln ⁡ y + x 2 + y 2

f x e f y , mas não só isso! Pediu para aplicarmos no ponto ( 3,4 )

Quando a função é com mais de uma variável e queremos encontrar a derivada parcial em relação a uma delas, precisamos considerar que as outras variáveis são constantes! É como se tudo se transformasse em números!

Belezinha até aqui?

Então a ideia aqui é achar f x considerando y constante, e f y considerando x constante. E depois? Depois aplicar no ponto ( 3,4 ) !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é

f x , y = ln ⁡ y + x 2 + y 2

Bora achar f x !

Vamos considerar y constante, e aplicar a regra da cadeia!

f x = 1 y + x 2 + y 2 . 1 2 x 2 + y 2 .   2 x = x ( y + x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

Beleza?

Agora vamos aplicar no ponto! x , y = ( 3,4 ) :

f x 3,4 = 3 4 + 3 2 + 4 2 3 2 + 4 2 = 3 4 + 25 25

f x 3,4 = 3 4 + 5 5 = 3 9.5

f x ( 3,4 ) = 1 15

É isso! Bora calcular f y ?

Passo 3

Agora vamos calcular a parcial em y (considerando x constante!)

f x , y = ln ⁡ y + x 2 + y 2

Vamos começar aplicando a regra da cadeia, mas aqui atenção: precisamos derivar dentro do argumento do logaritmo tudo que dependa de y (tanto o y sozinho quanto dentro da raiz)!

f y = 1 y + x 2 + y 2 . 1 + 1 2 x 2 + y 2 .   2 y

f y = 1 y + x 2 + y 2 1 + y x 2 + y 2

Belezinha? Agora vamos aplicar no ponto ( 3,4 ) :

f y 3,4 = 1 4 + 3 2 + 4 2 1 + 4 3 2 + 4 2 = 1 4 + 25 1 + 4 25

Agora nossa missão é resolver essas continhas! Estamos quase no fim!

Resolvendo temos

f y 3,4 = 1 9 1 + 4 5 = 1 9 . 9 5

f y ( 3,4 ) = 1 5

E é isso galera! Vamos para a próxima?

Resposta

f y ( 3,4 ) = 1 5

f x ( 3,4 ) = 1 15

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