Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Ver Teoria
Exercício 162123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UTFPR– Cálculo 2 – Lista 2022.2 – Questão 1

Calcule as derivadas parciais f x e f y da função f x , y = ln ⁡ ( y + x 2 + y 2 ) no ponto ( 3,4 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Esse problema nos deu essa função aqui

f x , y = ln ⁡ y + x 2 + y 2

f x e f y , mas não só isso! Pediu para aplicarmos no ponto ( 3,4 )

Quando a função é com mais de uma variável e queremos encontrar a derivada parcial em relação a uma delas, precisamos considerar que as outras variáveis são constantes! É como se tudo se transformasse em números!

Belezinha até aqui?

Então a ideia aqui é achar f x considerando y constante, e f y considerando x constante. E depois? Depois aplicar no ponto ( 3,4 ) !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é

f x , y = ln ⁡ y + x 2 + y 2

Bora achar f x !

Vamos considerar y constante, e aplicar a regra da cadeia!

f x = 1 y + x 2 + y 2 . 1 2 x 2 + y 2 .   2 x = x ( y + x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

Beleza?

Agora vamos aplicar no ponto! x , y = ( 3,4 ) :

f x 3,4 = 3 4 + 3 2 + 4 2 3 2 + 4 2 = 3 4 + 25 25

f x 3,4 = 3 4 + 5 5 = 3 9.5

f x ( 3,4 ) = 1 15

É isso! Bora calcular f y ?

Passo 3

Agora vamos calcular a parcial em y (considerando x constante!)

f x , y = ln ⁡ y + x 2 + y 2

Vamos começar aplicando a regra da cadeia, mas aqui atenção: precisamos derivar dentro do argumento do logaritmo tudo que dependa de y (tanto o y sozinho quanto dentro da raiz)!

f y = 1 y + x 2 + y 2 . 1 + 1 2 x 2 + y 2 .   2 y

f y = 1 y + x 2 + y 2 1 + y x 2 + y 2

Belezinha? Agora vamos aplicar no ponto ( 3,4 ) :

f y 3,4 = 1 4 + 3 2 + 4 2 1 + 4 3 2 + 4 2 = 1 4 + 25 1 + 4 25

Agora nossa missão é resolver essas continhas! Estamos quase no fim!

Resolvendo temos

f y 3,4 = 1 9 1 + 4 5 = 1 9 . 9 5

f y ( 3,4 ) = 1 5

E é isso galera! Vamos para a próxima?

Resposta

f y ( 3,4 ) = 1 5

f x ( 3,4 ) = 1 15

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1