Calcule as derivadas parciais em relação à y de primeira e segunda ordens da função dada

f(x, y) = (x^2 * y) / (x^2 - y^2)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando a função f x , y ,   aqui:

f x , y = x 2 y x 2 - y 2

E pediu calcular a derivada parcial de primeira e segunda ordens dessa função em relação a y

Então a ideia é considerar x como constante, derivar y ! E depois aplicar no ponto dado!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Derivando parcialmente em relação a x uma vez

f x , y = x 2 y x 2 - y 2

∂ f ∂ y = x 2 x 2 - y 2 + 2 y . x 2 y x 2 - y 2 2 = x 4 + x 2 y 2 x 2 - y 2 2

Beleza?

Agora nossa missão é derivar mais uma vez!

Passo 3

Derivando de novo temos

∂ f ∂ y = x 4 + x 2 y 2 x 2 - y 2 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 x 2 y x 2 - y 2 2 - 2 ( x 2 - y 2 ) ( - 2 y ) ( x 4 + x 2 y 2 ) x 2 - y 2 4

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

∂ f ∂ y = x 4 + x 2 y 2 x 2 - y 2 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 x 2 y x 2 - y 2 2 - 2 ( x 2 - y 2 ) ( - 2 y ) ( x 4 + x 2 y 2 ) x 2 - y 2 4

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