Calcule as derivadas parciais em relação à x de primeira e segunda ordens da função dada

i) f(x, y) = arctan(x^2 * y)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando a função f x , y ,   aqui:

f x , y = arctan ⁡ x 2 y

E pediu calcular a derivada parcial de primeira e segunda ordens dessa função em relação a x

Então a ideia é considerar y como constante, derivar x ! E depois aplicar no ponto dado!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Derivando parcialmente em relação a x uma vez

f x , y = arctan ⁡ x 2 y

∂ f ∂ x = 2 arctan ⁡ x 2 y . 2 x y y x 2 + 1 = 4 x y arctan ⁡ x 2 y y x 2 + 1

Beleza?

Agora nossa missão é derivar mais uma vez!

Passo 3

Derivando de novo temos

∂ f ∂ x = 4 x y arctan ⁡ x 2 y y x 2 + 1

∂ 2 f ∂ x 2 = 4 y arctan ⁡ x 2 y + 4 x y 2 x y y x 2 + 1 . y x 2 + 1 - 2 x y 4 x y arctan ⁡ x 2 y   y x 2 + 1 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

∂ f ∂ x = 4 x y arctan ⁡ x 2 y y x 2 + 1

∂ 2 f ∂ x 2 = 4 y arctan ⁡ x 2 y + 4 x y 2 x y y x 2 + 1 . y x 2 + 1 - 2 x y 4 x y arctan ⁡ x 2 y   y x 2 + 1 2

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