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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 38a

(a) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f x ,   y = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas de segunda ordem da função f x ,   y = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) , ou seja, vamos calcular:

∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y = ∂ 2 ∂ x 2 ln ⁡ ( x 2 + y 2 )

∂ 2 f ∂ y 2 x ,   y = ∂ 2 ∂ y 2 ln ⁡ ( x 2 + y 2 )

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando nossa função parcialmente em relação a x . A gente só não pode esquecer que temos uma função polinomial ( x 2 + y 2 ) dentro de uma função logarítmica, então precisamos usar a regra da cadeia na derivação.

Assim, temos:

∂ ∂ x ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 1 x 2 + y 2 ∙ ∂ ∂ x ( x 2 + y 2 )

∂ f ∂ x = 2 x x 2 + y 2

Agora vamos pegar esse resultado e derivar mais uma vez para obter a segunda derivada parcial em relação a x :

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x 2 x x 2 + y 2

Usando a regra do quociente na derivação:

∂ 2 f ∂ x 2 = 2 x 2 + y 2 - 2 x 2 x x 2 + y 2 2

∂ 2 f ∂ x 2 = 2 ( - x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 2

Passo 3

Agora vamos seguir o mesmo método do passo anterior pra derivar nossa função parcialmente em relação a y :

∂ ∂ y ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 1 x 2 + y 2 ∙ ∂ ∂ y ( x 2 + y 2 )

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2

Agora vamos pegar esse resultado e derivar mais uma vez para obter a segunda derivada parcial em relação a y :

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y 2 y x 2 + y 2

Usando a regra do quociente na derivação:

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 x 2 + y 2 - 2 y 2 y x 2 + y 2 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 ( x 2 - y 2 ) x 2 + y 2 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ 2 f ∂ x 2 = 2 ( - x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 ( x 2 - y 2 ) x 2 + y 2 2

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