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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 848, exercício 96c.

(Cap 14.3 – Ex 96c) No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função

T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ x   s e n ( ω t - λ x )

onde ω = 2 π / 365 e λ é uma constante positiva.

(c) Mostre que T satisfaz a equação do calor T t = k T x x para uma certa constante k .

Passo 1

Opa, tudo certo?

Bora resolver essa comigo?

Simboraá

Nesse item precisamos fazer uma demonstração. Precisamos provar que T satisfaz a equação do calor

T t = k T x x

Sendo que o enunciado nos dá a função de T ! Então o que vamos precisar fazer aqui?

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais e depois jogar na tal da equação do calor e ver se tudo está ok, beleza?

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada temporal

T t = ∂ T ∂ t = ∂ ∂ t T 0 + T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

T t = T 1 e - λ x cos ⁡ ω t - λ x ω

Show!

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada em x

T x x = ∂ 2 T ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ ∂ x T 0 + T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

Lembrando que aqui temos usar a regra do produto! Derivando pela primeira vez

T x x = T 1 ∂ ∂ x   - λ e - λ x s e n ω t - λ x + e - λ x cos ⁡ ω t - λ x - λ

Dando uma organizadinha

T x x = - T 1 λ ∂ ∂ x ( e - λ x s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x

Agora já estamos prontos pra fazer a segunda derivada!

T x x = - T 1 λ - λ e - λ x s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x + e - λ x cos ⁡ ω t - λ x - λ - s e n ω t - λ x - λ

T x x = T 1 λ 2 e - λ x s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x - s e n ω t - λ x

T x x = 2 T 1 λ 2 e - λ x cos ⁡ ω t - λ x

Show!

Passo 4

Agora vamos jogar lá na equação do calor!

T t = k T x x

T 1 e - λ x cos ⁡ ω t - λ x ω = k 2 T 1 λ 2 e - λ x cos ⁡ ω t - λ x

ω   T 1 e - λ x cos ⁡ ω t - λ x = 2 k λ 2   T 1 e - λ x cos ⁡ ω t - λ x

Agora é só simplificar os termos iguais!

ω = 2 k λ 2

k = ω 2 λ 2

Show! Mostramos que esse T obedece essa equação do calor :D

Resposta

T t = k T x x

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