UFCG-Cálculo 3-AV1-2022.1
Considerando que a equação define como uma função de , encontre o valor de no ponto
Passo 1
Opa amigão, sou o Rodolpho do Responde Aí. Tá tudo joinha por aí?
Bem, hoje vamos resolver uma questãozinha em função de várias variáveis. Para ser mais preciso, a gente vai utilizar conceitos de derivadas. E questão desse tipo é até comum de cair em prova porque envolve um trabalho manual (contas) meio chatinho, por isso vamos fazer juntinho com você.
Mas, analisando a função não tem como a gente isolar o e depois aplicar a derivada. E agora? Você sabe como sair dessa bronca?
Não? Relaxaaaaaaaa, vamos dar um bizu. Vamos precisar de um assunto chamado de derivada implícita e é isso que vamos utilizar ao longo da questão.
Para completar, precisamos das regrinhas de derivação parcial, você lembra?
Não precisa fazer essa carinha, sabemos que sim. Mas vamos apenas fazer notificar quais são para reforçar na sua cabeça:
Outra é a regra da cadeia que é dada por:
Agora que já sabemos disso, podemos responder?
Agora que já sabemos o que vamos utilizar, VAMOS LÁÁÁ
Passo 2
Para aplicar derivada implícita vamos precisar primeiro da função:
Agora vamos aplicar as derivadas em ambos os lados:
Agora vamos aplicar as propriedades das derivadas:
Aplicando a regra do produto temos que:
Agora aplicando as regrinhas que discutimos antes:
Isolando a derivada temos que:
E essa é a nossa técnica para obter a derivada implicitamente, sacou?
Passo 3
Agora vamos colocar os pontos: