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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

USP – Cálculo 2 – Lista 3 – Questão 1.14b

Considere f x , y = x y 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

  1. Verifique que ∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = 0 e que ∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = 1  

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema pediu para verificar essas duas derivadas de segunda ordem

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = 0

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = 1

Vamos por partes! Nos exercícios anteriores verificamos o seguinte

∂ f ∂ y x , 0 = 0 ,   p a r a   q q r   x

E também

∂ f ∂ x 0 , y = y ,   p a r a   q q r   y

Então é daqui que vamos partir!

Beleza?

a ideia é com essas expressões, derivar novamente e mostrar o que foi pedido!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar por

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = 0

Temos que derivar em relação à x

∂ f ∂ y ( 0,0 )

Mas sabemos que

∂ f ∂ y x , 0 = 0

Em qualquer valor de x , então

∂ f ∂ y 0 , 0 = 0

E derivando em relação à x

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = 0

Beleza? Primeira demonstração ok!

Passo 3

Agora vamos calcular

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = 1

Essa aqui é o inverso: precisamos derivar em relação à y a derivada parcial de x . Mas sabemos que

∂ f ∂ x 0 , y = y

Para qualquer y , então

∂ f ∂ x 0 , 0 = y

E derivando em relação à y temos

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = ∂ ∂ y y = 1

Oba! Segunda parte também demonstrada com sucesso!

Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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