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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

PUC-RJ, Cálculo a Várias Variáveis I, P2, 2016.1, questão 1a

Considere a função

f x , y = x y e x y

Desenhe as curvas contidas no conjunto

A = x , y ∈ R 2     f x x , y = 0 }  

E no conjunto

B = x , y ∈ R 2     f y x , y = 0 }    

Apontando no desenho o conjunto A e o conjunto B .

Passo 1

Para desenhar essas curvas, precisamos primeiro saber quem são as derivadas parciais, certo?

Então vamos lá.

Pela regra do produto e da cadeia:

f x = y e x y + x y e x y . y = y e x y 1 + x y

f y = x e x y + x y e x y . x = x e x y 1 + x y

Passo 2

Show, agora que já temos as derivadas parciais, vamos descobrir quem são as curvas contidas em cada conjunto. Começando pelo conjunto A ., fazemos

f x = y e x y 1 + x y = 0

Para que isso seja verdade,

y = 0

Ou

1 + x y = 0   ⟷ y = - 1 x

Porque e x y ≠ 0 independente dos valores de x e y .

Passo 3

Assim, temos que y = 0 corresponde ao eixo x e y = - 1 x corresponde a uma hipérbole.

Nosso desenho fica então:

Passo 4

Agora vamos ver o que acontece no conjunto B . Fazemos

f y = x e x y 1 + x y = 0

Isso só é verdade se

x = 0

Ou

1 + x y = 0   ⟷ y = - 1 x

Porque e x y ≠ 0 independente dos valores de x e y .

Passo 5

Assim, nosso desenho fica muiiito parecido com o desenho do conjunto A . A única diferença é que x = 0 corresponde ao eixo y .

Temos então

Resposta

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