Considere a função

f(x, y) = xy * e^(xy)

Desenhe as curvas contidas no conjunto

A = { (x, y) ∈ R^2 | f(x, y) = 0 }

E no conjunto

B = { (x, y) ∈ R², f_y(x, y) = 0 }

Apontando no desenho o conjunto A e o conjunto B .

Passo 1

Para desenhar essas curvas, precisamos primeiro saber quem são as derivadas parciais, certo?

Então vamos lá.

Pela regra do produto e da cadeia:

f x = y e x y + x y e x y . y = y e x y 1 + x y

f y = x e x y + x y e x y . x = x e x y 1 + x y

Passo 2

Show, agora que já temos as derivadas parciais, vamos descobrir quem são as curvas contidas em cada conjunto. Começando pelo conjunto A ., fazemos

f x = y e x y 1 + x y = 0

Para que isso seja verdade,

y = 0

Ou

1 + x y = 0   ⟷ y = - 1 x

Porque e x y ≠ 0 independente dos valores de x e y .

Passo 3

Assim, temos que y = 0 corresponde ao eixo x e y = - 1 x corresponde a uma hipérbole.

Nosso desenho fica então:

Passo 4

Agora vamos ver o que acontece no conjunto B . Fazemos

f y = x e x y 1 + x y = 0

Isso só é verdade se

x = 0

Ou

1 + x y = 0   ⟷ y = - 1 x

Porque e x y ≠ 0 independente dos valores de x e y .

Passo 5

Assim, nosso desenho fica muiiito parecido com o desenho do conjunto A . A única diferença é que x = 0 corresponde ao eixo y .

Temos então

Resposta

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