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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFSC, Joinvile, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2016.2, Questão 1b

Dada f ( x , y ) =   0 ,   s e   ( x , y )   =   ( 0,0 ) ; e f ( x , y ) = 2 x y 2 x ² + 2 y ²

b) Calcular ∂ f ∂ x

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular a derivada parcial da função f definida em como 2 x y 2 x ² + 2 y ² para pontos do plano cartesiano que não sejam a origem e igual à zero na origem. A função f é uma função de duas variáveis e, portanto, define uma superfície no espaço tridimensional que depende tendo de y quanto de x. Então, para verificar a taxa de variação dessa função em relação a uma única variável, consideramos a outra como constante durante a derivação. Então, vamos lá calcular a derivada parcial em relação à x!

Passo 2

Para derivar f(x,y) em relação à x, consideramos y como uma constante e iremos utilizar a regra do quociente e definindo as funções de uma variável g ( x ) = 2 x y e h ( x ) = 2 x ² + 2 y ² , pois lembre-se, estamos fazendo y = constante. Assim, a derivada da função f ( x ) = g ( x , y ) h ( x , y ) será dada pela fórmula

∂ f ∂ x = g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) h ( x ) ²

Como g ' ( x ) = 2 y e h ' ( x ) = 2 x 2 x ² + 2 y ² , temos que a derivada parcial de f em relação à x é

∂ f ∂ x = 2 y 2 x ² + 2 y ² - 4 x ² y ( 2 x ² + 2 y ² ) - 1 2 2 x ² + 2 y ²

Dessa expressão, vemos que a derivada da função não está definida na origem, onde obtemos uma indeterminação.

Resposta

∂ f ∂ x = 2 y 2 x ² + 2 y ² - 4 x ² y ( 2 x ² + 2 y ² ) - 1 2 2 x ² + 2 y ��

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