UFSC, Joinvile, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2016.2, Questão 2b
Dada escreva a regra da cadeia para .
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão pede para a gente escrever a regra da cadeia para as derivadas da função h em relação à u, à v e à w. Bem, h é uma função dessas 3 variáveis através da função f que, por sua vez, é uma função das 3 variáveis x, y e z, que também são funções de u, v e w! Então, para saber como h varia com u, por exemplo, precisamos saber como f(x,y,z) varia com as variáveis x, y e z, e como elas variam em relação a u, acompanhou? Matematicamente, podemos escrever esse exemplo na forma:
Mas veja, nem todas as variáveis x, y e z dependem de u. Na realidade, apenas x depende pois x = x(u,v), enquanto que y só depende de v e z depende de ve e de w. Então, as derivadas de y e z em relação à u são nulas! . Então, a derivada de h em relação à u é simplesmente:
Então agora só precisamos aplicar o mesmo raciocínio para as derivadas de h em relação à v e w. Vamos lá derivar em relação à v então!
Passo 2
Novamente, podemos escrever a variação de h em relação à v como a variação de f em relação às variáveis x, y e z e como x, y e z variam em relação à v. Assim, temos:
Dessa vez, todas as variáveis x, y e z são funções de v. Então não podemos excluir nenhum termo da expressão acima, pois todas elas dependem de v. Assim, essa é a derivada de h em relação à v. Então, agora, só falta encontrar a expressão para a derivada de h em relação à w. Então vamos lá.
Passo 3
Mais uma vez, a gente começa escrevendo a variação de h em relação à w como a variação de f em relação a x, y e z e como essas últimas variáveis variam em relação à w. Dito de outra forma:
Dentre x,y e z, a única variável que depende de w é z, pois z = z(v,w), enquanto que x só depende de u e v, e y só depende de v. Então, as derivadas de x e de y em relação à w são nulas . Então, a derivada de h em relação a w se reduz à