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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

USP – Cálculo 2 – Lista 3 – Questão 1.2

Dada a função f x , y = x x 2 + y 2 - 3 2 e sin ⁡ ( x 2 y ) , ache ∂ f ∂ x ( 1,0 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu uma função de duas variáveis

f x , y = x x 2 + y 2 - 3 2 e sin ⁡ ( x 2 y )

E pediu para calcularmos a derivada parcial dessa função em relação à x no ponto ( 1,0 )

∂ f ∂ x ( 1,0 )

Mas como fazer isso?

Vamos por partes! Uma derivada parcial é quando consideramos as outras variáveis como constantes. Então nesse caso y vai funcionar como um número qualquer.

Beleza?

E depois? Depois é só derivar usando as regras que você já conhece! E por fim, aplicar no ponto dado!

Bora começar?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função

f x , y = x x 2 + y 2 - 3 2 e sin ⁡ ( x 2 y )

Usando regra do produto e da cadeia temos

∂ f ∂ x = 1 . x 2 + y 2 - 3 2 e sin ⁡ ( x 2 y ) + x . - 3 2 x 2 + y 2 - 5 2 2 x . e x 2 y + x x 2 + y 2 - 3 2 . e x 2 y . ( 2 x y )

Beleza?

tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos aplicar no ponto dado

Aplicando ( 1,0 ) na derivada temos

∂ f ∂ x = 1 . x 2 + y 2 - 3 2 e sin ⁡ ( x 2 y ) + x . - 3 2 x 2 + y 2 - 5 2 2 x . e sin ⁡ x 2 y + x x 2 + y 2 - 3 2 . e sin ⁡ x 2 y . ( cos ⁡ x 2 y . 2 x y )

∂ f ∂ x ( 1,0 ) = 1 . 1 - 3 2 e sin ⁡ 0 + . - 3 2 1 - 5 2 2 . 1 . e sin ⁡ 0 + 1 . 1 - 3 2 . e sin ⁡ 0 . ( cos ⁡ 0 . 2 . 1.0 )

Simplificando temos

∂ f ∂ x 1,0 = 1 - 3 2 = - 1 2

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

- 1 2

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