UFSC, Joinvile, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2015.1, Questão 2a
Dadas , e encontre em termos de u e v.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente calcular a taxa de variação de z em relação à v, onde z é uma função das variáveis x e y que, por sua vez, são funções das variáveis u e v. Então, indiretamente, variações em u e v causam variações em z. Mas como podemos calcular essas variações? Através das derivadas parciais! Primeiro, a gente sabe que uma variação infinitesimal de z em função das variações de x e y pode ser escrita como
Por outro lado, a gente pode fazer a mesma coisa para as variações infinitesimais de x e de y, já que essas variáveis são funções de u de v. Assim, podemos escrever:
Então, sabendo como os infinitésimos dx e dy dependem de u e v, podemos substituir na expressão para dz e, como u e v são variáveis independentes , podemos escrever como
Então,
Ótimo! Agora temos uma expressão que relaciona as derivadas parciais das funções que conhecemos. Então agora só falta derivar. Bora lá então!
Passo 2
Primeiro, vamos precisar das derivadas de z em relação à x e em relação à y. Para derivar essa função de duas variáveis em relação a x, consideramos y como constante e derivamos. Assim, obtemos:
Semelhantemente, derivando em relação à y, considerando x constante, obtemos:
Agora, precisamos calcular as derivadas de x e y em relação à v. Começando com x, consideramos u como constante e derivamos em relação à v. Assim, encontramos:
Da mesma forma, derivando y em relação à v, considerando u constante, obtemos:
Então, agora já temos tudo que precisamos para escrever a derivada de z em relação à v. Colocando todas as expressões calculadas na expressão para nos resulta em
Escrevendo x e y em função de u e v, obtemos, finalmente
Ou, equivalentemente
Resposta