Dadas z = ln(x² y) , x = arctg(u * v³ + v) e y = sen²(u v) encontre ∂z / ∂v em termos de u e v.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular a taxa de variação de z em relação à v, onde z é uma função das variáveis x e y que, por sua vez, são funções das variáveis u e v. Então, indiretamente, variações em u e v causam variações em z. Mas como podemos calcular essas variações? Através das derivadas parciais! Primeiro, a gente sabe que uma variação infinitesimal de z em função das variações de x e y pode ser escrita como

d z   =   ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y

Por outro lado, a gente pode fazer a mesma coisa para as variações infinitesimais de x e de y, já que essas variáveis são funções de u de v. Assim, podemos escrever:

d x   =   ∂ x ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v

d y   =   ∂ y ∂ u d u + ∂ y ∂ v d v

Então, sabendo como os infinitésimos dx e dy dependem de u e v, podemos substituir na expressão para dz e, como u e v são variáveis independentes ∂ u ∂ v = 0   e   ∂ v ∂ v = 1 , podemos escrever ∂ z ∂ v como

∂ z ∂ v   =   ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u d u d v + ∂ x ∂ v d v d v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u d u d v + ∂ y ∂ v d v d v

Então,

∂ z ∂ v   =   ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v

Ótimo! Agora temos uma expressão que relaciona as derivadas parciais das funções que conhecemos. Então agora só falta derivar. Bora lá então!

Passo 2

Primeiro, vamos precisar das derivadas de z em relação à x e em relação à y. Para derivar essa função de duas variáveis em relação a x, consideramos y como constante e derivamos. Assim, obtemos:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x l n ( x ² y ) = 1 x ² y × ( 2 x y ) = 2 x

Semelhantemente, derivando em relação à y, considerando x constante, obtemos:

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y l n ( x ² y ) = 1 x ² y × ( x ² ) = 1 y

Agora, precisamos calcular as derivadas de x e y em relação à v. Começando com x, consideramos u como constante e derivamos em relação à v. Assim, encontramos:

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v a r c t g ( u v ³   +   v ) = 1 1 + ( u v ³ + v ) ² × ( 3 u v ² + 1 ) = 3 u v ² + 1 1 + ( u v ³ + v ) ²

Da mesma forma, derivando y em relação à v, considerando u constante, obtemos:

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v s e n ² ( u v ) = 2 u × s e n ( u v ) × c o s ( u v ) = 2 u × s e n ( u v ) c o s ( u v )

Então, agora já temos tudo que precisamos para escrever a derivada de z em relação à v. Colocando todas as expressões calculadas na expressão para ∂ z ∂ v nos resulta em

∂ z ∂ v = 2 x 3 u v ² + 1 1 + ( u v ³ + v ) ² + 1 y 2 u × s e n ( u v ) c o s ( u v )  

Escrevendo x e y em função de u e v, obtemos, finalmente

∂ z ∂ v = 2 a r c t g ( u v ³ + v ) 3 u v ² + 1 1 + ( u v ³ + v ) ² + 2 u × s e n ( u v ) c o s ( u v ) s e n ² ( u v )  

Ou, equivalentemente

∂ z ∂ v = 2 a r c t g ( u v ³ + v ) 3 u v ² + 1 1 + ( u v ³ + v ) ² + 2 u × c o t g ( u v )  

Resposta

∂ z ∂ v = 2 a r c t g ( u v ³ + v ) 3 u v ² + 1 1 + ( u v ³ + v ) ² + 2 u × c o t g ( u v )  

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