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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

USP, Lorena, Cálculo II, Listas de C2 - Profº Darcy Villela - Lista 11, Questão 4

Determine as derivadas parciais indicadas.

4) R s , t = t e s / t ;     R t 0,1 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que calcular a derivada parcial de R s , t = t e s / t em R t 0,1 .

Parece complicado? 🤔

Basicamente o que o exercício nos pediu foi calcular R t 0,1 ou seja, a derivada parcial de R com relação a t no ponto 0,1 .

Para calcular uma derivada parcial de uma função, derivamos normalmente com relação a uma variável e consideramos as outras variáveis da função como constantes...

Sacou? Bora ver como é na prática? 😉

Passo 2

Se R s , t = t e s / t , derivando parcialmente com relação a t temos que considerar s como uma constante.

R t = ∂ t e s t ∂ t

Nesse caso, temos um produto de duas funções de t ... t e e s t então a princípio vamos aplicar a regra do produto...

R t = ∂ t ∂ t · e s t + t · ∂ e s t ∂ t

Já na derivada de e s t temos uma função composta e, portanto, vamos aplicar a regra da cadeia nesse termo

R t = ∂ t ∂ t · e s t + t · ∂ s t ∂ t · ∂ e u ∂ u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo...

R t = 1 · e s t + t · - s t 2 · e u

R t = e s t - s t e u

Voltando u para s t e aplicando o ponto ( 0,1 )

R t = e s t - s t e s t → R t ( 0,1 ) = e 0 1 - 0 1 e 0 1

R t ( 0,1 ) = 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

R t ( 0,1 ) = 1

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