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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

USP, Lorena, Cálculo II, Listas de C2 - Profº Darcy Villela - Lista 11, Questão 5

Determine as derivadas parciais indicadas.

5) f x , y , z = ln ⁡ 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 ;     f y 1 , 2,2 .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que calcular a derivada parcial de f x , y , z = ln ⁡ 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 em f y 1,2 , 2 .

Parece complicado? 🤔

Basicamente o que o exercício nos pediu foi calcular f y 1,2 , 2 ou seja, a derivada parcial de F com relação a y no ponto 1,2 , 2 .

Para calcular uma derivada parcial de uma função, derivamos normalmente com relação a uma variável e consideramos as outras variáveis da função como constantes...

Sacou? Bora ver como é na prática? 😉

Passo 2

Se f x , y , z = ln ⁡ 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 , derivando parcialmente com relação a y temos que considerar x e z como constantes.

f y = ∂ ln ⁡ 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 ∂ y

A primeira coisa que podemos perceber nessa função é que se trata de uma função composta, portanto a princípio vamos aplicar a regra da cadeia.

f y = ∂ 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 ∂ y · ∂ ln ⁡ u ∂ u

Agora na derivada de 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 vemos que temos uma fração de duas funções de y então para a derivada desse termo derivamos pela regra do quociente.

f y = ∂ 1 - x 2 + y 2 + z 2 ∂ y · 1 + x 2 + y 2 + z 2 - 1 - x 2 + y 2 + z 2 · ∂ 1 + x 2 + y 2 + z 2 ∂ y 1 + x 2 + y 2 + z 2 2 · ∂ ln ⁡ u ∂ u

Para as derivadas de ∂ 1 - x 2 + y 2 + z 2 ∂ y e ∂ 1 + x 2 + y 2 + z 2 ∂ y temos que aplicar a regra da cadeia novamente...

f y = ∂ 1 ∂ y - ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y · ∂ v ∂ v · 1 + x 2 + y 2 + z 2 - 1 - x 2 + y 2 + z 2 · ∂ 1 ∂ y + ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y ∂ v ∂ v 1 + x 2 + y 2 + z 2 2 · ∂ ln ⁡ u ∂ u

E finalmente pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, chegamos em

f y = 0 - 2 y   · 1 2 v · 1 + x 2 + y 2 + z 2 - 1 - x 2 + y 2 + z 2 · 0 + 2 y   · 1 2 v 1 + x 2 + y 2 + z 2 2 · 1 u

f y = -   y v 1 + x 2 + y 2 + z 2 - 1 - x 2 + y 2 + z 2   y v u 1 + x 2 + y 2 + z 2 2

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Voltando u para 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 e v para x 2 + y 2 + z 2

f y = -   y x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 - 1 - x 2 + y 2 + z 2   y x 2 + y 2 + z 2 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 2

f y = -   y x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 - 1 - x 2 + y 2 + z 2   y x 2 + y 2 + z 2 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2

Simplificando um pouco mais nosso resultado...

f y = -   y x 2 + y 2 + z 2 + y x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 -   y x 2 + y 2 + z 2 - y x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 1 2 - x 2 + y 2 + z 2 2

f y = -   y x 2 + y 2 + z 2 - y -   y x 2 + y 2 + z 2 + y 1 - x 2 + y 2 + z 2 = -   2 y x 2 + y 2 + z 2 1 - x 2 + y 2 + z 2

f y = -   2 y 1 - x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

f y =   2 y x 2 + y 2 + z 2 - 1 x 2 + y 2 + z 2

E finalmente aplicando o ponto 1,2 , 2 .

f y 1,2 , 2 =   2 2 1 2 + 2 2 + 2 2 - 1 1 2 + 2 2 + 2 2

f y 1,2 , 2 =   4 8 9

f y 1,2 , 2 = 1 6

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

f y 1,2 , 2 = 1 6

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