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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

USP, Lorena, Cálculo II, Listas de C2 - Profº Darcy Villela - Lista 11, Questão 3

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

3) w x , y , z = y tan ⁡ x + 2 z

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos apenas que calcular as derivadas parciais de w .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para calcular as derivadas parciais de uma função, derivamos normalmente considerando as variáveis adjacentes como constantes.

Ou seja, para derivar w com relação a x , consideramos y e z como constantes e assim sucessivamente.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

A função a ser derivada é dada por

w x , y , z = y tan ⁡ x + 2 z

Vamos começar derivando com relação a x ...

∂ w ∂ x = ∂ y tan ⁡ x + 2 z ∂ x

Como nossa função é composta para x , então para calcular sua derivada temos que aplicar a regra da cadeia

∂ w ∂ x = y ∂ x + 2 z ∂ x ∂ tan ⁡ u ∂ u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∂ w ∂ x = y 1 sec 2 ⁡ u

∂ w ∂ x = y sec 2 ⁡ u

Voltando u para x + 2 z ...

∂ w ∂ x = y sec 2 ⁡ x + 2 z

Bacana, não é? 😊

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para y .

∂ w ∂ y = ∂ y tan ⁡ x + 2 z ∂ y

Nesse caso, como x e y são constantes, o termo tan ⁡ x + 2 z pode sair da derivada...

∂ w ∂ y = tan ⁡ x + 2 z ∂ y ∂ y

Pelo método de derivação polinomial

∂ w ∂ y = tan ⁡ x + 2 z

Por último, derivamos com relação a z

∂ w ∂ z = ∂ y tan ⁡ x + 2 z ∂ z

Aqui seguimos os mesmos passos para o que fizemos para x , ou seja, aplicamos a regra da cadeia.

∂ w ∂ z = y ∂ x + 2 z ∂ z ∂ tan ⁡ u ∂ u

∂ w ∂ z = y 2 sec 2 ⁡ u

∂ w ∂ z = 2 y sec 2 ⁡ u

Voltando u para x + 2 z

∂ w ∂ z = 2 y sec 2 ⁡ x + 2 z

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∂ w ∂ x = y sec 2 ⁡ x + 2 z

∂ w ∂ y = tan ⁡ x + 2 z

∂ w ∂ z = 2 y sec 2 ⁡ x + 2 z

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