Determine as derivadas parciais de segunda ordem.

10) v r , s = sin ⁡ s 2 - r 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função v r , s = sin ⁡ s 2 - r 2 .

Parece difícil? 🤔

Para calcular a derivada parcial de segunda ordem de uma função em relação a uma variável, consideramos as demais variáveis da função como constantes.

Para calcular as derivadas de segunda ordem calculamos a derivada do resultado que encontramos na primeira.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos derivar v em função de r

v r = ∂ sin ⁡ s 2 - r 2 ∂ r

Pela regra da cadeia, obtemos essa derivada como

v r = ∂ s 2 - r 2 ∂ r ∂ sin ⁡ u ∂ u

v r = - 2 r cos ⁡ u

Simplificando e voltando u para s 2 - r 2

v r = - 2 r cos ⁡ s 2 - r 2

Agora vamos fazer o mesmo para s pelo mesmo método.

v s = ∂ sin ⁡ s 2 - r 2 ∂ s

Aplicando a regra da cadeia novamente

v s = ∂ s 2 - r 2 ∂ s ∂ sin ⁡ u ∂ u

v s = 2 s cos ⁡ u

v s = 2 s cos ⁡ s 2 - r 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora podemos obter as derivadas de segunda ordem.

Primeiro vamos usar as derivadas de segunda ordem de v r .

Derivando v r com relação a r

v r r = ∂ - 2 r cos ⁡ s 2 - r 2 ∂ r

Essa derivada pode ser calculada a partir da regra do produto

v r r = - 2 ∂ r ∂ r · cos ⁡ s 2 - r 2 + r · ∂ cos ⁡ s 2 - r 2 ∂ r

A derivada de cos ⁡ s 2 - r 2 é obtido a partir da regra da cadeia

v r r = - 2 ∂ r ∂ r · cos ⁡ s 2 - r 2 + r · ∂ s 2 - r 2 ∂ r · ∂ cos ⁡ u ∂ u

v r r = - 2 1 · cos ⁡ s 2 - r 2 + r · - 2 r · - sin ⁡ u

v r r = - 2 cos ⁡ s 2 - r 2 + 2 r 2 sin ⁡ u

v r r = - 2 cos ⁡ s 2 - r 2 - 4 r 2 sin ⁡ u

Voltando u para s 2 - r 2

v r r = - 2 cos ⁡ s 2 - r 2 - 4 r 2 sin ⁡ s 2 - r 2

Agora derivamos v r com relação a s

v r s = ∂ - 2 r cos ⁡ s 2 - r 2 ∂ s

v r s = - 2 r ∂ cos ⁡ s 2 - r 2 ∂ s

Novamente pela regra da cadeia

v r s = - 2 r ∂ s 2 - r 2 ∂ s ∂ cos ⁡ u ∂ u

v r s = - 2 r 2 s - sin ⁡ u

v r s = 4 s r sin ⁡ u

v r s = 4 s r sin ⁡ s 2 - r 2

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Agora vamos fazer as mesmas coisas para v s .

Derivando com relação a r

v s r = ∂ 2 s cos ⁡ s 2 - r 2 ∂ r

v s r = 2 s ∂ cos ⁡ s 2 - r 2 ∂ r

Já calculamos a derivada de cos ⁡ s 2 - r 2 em relação a r anteriormente...

v s r = 2 s 2 r sin ⁡ s 2 - r 2

v s r = 4 r s sin ⁡ s 2 - r 2

Agora derivamos v s em função de s

v s s = ∂ 2 s cos ⁡ s 2 - r 2 ∂ s

Pela regra do produto, temos

v s s = 2 ∂ s ∂ s · cos ⁡ s 2 - r 2 + s · ∂ cos ⁡ s 2 - r 2 ∂ s

v s s = 2 1 · cos ⁡ s 2 - r 2 + s · 2 s sin ⁡ s 2 - r 2

v s s = 2 cos ⁡ s 2 - r 2 + 4 s 2 sin ⁡ s 2 - r 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

v r r = - 2 cos ⁡ s 2 - r 2 - 4 r 2 sin ⁡ s 2 - r 2

v r s = 4 s r sin ⁡ s 2 - r 2

v s r = 4 r s sin ⁡ s 2 - r 2

v s s = 2 cos ⁡ s 2 - r 2 + 4 s 2 sin ⁡ s 2 - r 2

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