USP, Lorena, Cálculo II, Listas de C2 - Profº Darcy Villela - Lista 11, Questão 10
Determine as derivadas parciais de segunda ordem.
10)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Parece difícil? 🤔
Para calcular a derivada parcial de segunda ordem de uma função em relação a uma variável, consideramos as demais variáveis da função como constantes.
Para calcular as derivadas de segunda ordem calculamos a derivada do resultado que encontramos na primeira.
Sacou? Bora começar! 😬
Passo 2
Primeiro vamos derivar em função de r
Pela regra da cadeia, obtemos essa derivada como
Simplificando e voltando para
Agora vamos fazer o mesmo para pelo mesmo método.
Aplicando a regra da cadeia novamente
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora podemos obter as derivadas de segunda ordem.
Primeiro vamos usar as derivadas de segunda ordem de .
Derivando com relação a
Essa derivada pode ser calculada a partir da regra do produto
A derivada de é obtido a partir da regra da cadeia
Voltando para
Agora derivamos com relação a
Novamente pela regra da cadeia
Bacana, não é? 😊
Passo 4
Agora vamos fazer as mesmas coisas para .
Derivando com relação a
Já calculamos a derivada de em relação a anteriormente...
Agora derivamos em função de
Pela regra do produto, temos
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
